Ocelové oblouky stabilizované membránami. Část 1: Experimenty a analýza

1. Úvod

Moderní tkané membránové konstrukce vynikají estetikou tvarů, jsou extrémně lehké, v současnosti snadno dostupné a využitelné pro dočasné i trvalé konstrukce. Materiál membrán lze volit z široké nabídky výrobců. Vhodnou volbou je jednovrstvá polyesterová tkanina (PES, PET) proložená vrstvami polymerů (PVC popř. PU, nebo akrylátovým či silikonovým polymerem, obvykle potažená fluoropolymerem PVDF) s trvanlivostí nejméně 20 let a umožňující spojování svařením nebo sešíváním (viz Précontraint FERRARI^® [1], SATTLER PRO-TEX GmbH [2]). Poněkud dražší, nehořlavá a s trvanlivostí min. 35 let je skelná tkanina potažená PTFE (teflon) nebo silikonovou gumou, popř. oxidem titaničitým a spojuje se lepením. Drahým, avšak výborným materiálem je tkanina z expandovaných PTFE vláken potažená pružným fluoropolymerem (TENARA^® [3]), s trvanlivostí min. 35 let. Jedná se o průsvitný materiál s možností skládání/ohýbání a spojovaný svařováním. V případě potřeby lze membrány i tepelně izolovat použitím materiálu Nanogel Aerogel™ vloženého mezi PTEF popř. PVC membrány (viz Tensotherm™ [4], s dalším povlakem akustickým nebo parozábranou), tvořící pružnou a průsvitnou deku s tloušťkou do 24 mm ukládanou do roštu. Pro méně náročné, dočasné membrány (s trvanlivostí do 10 let), lze použít též polyetylen s vysokou hustotou (HDPE) potažený polyetylenem s nízkou hustotou (LDPE), spojovaný sešíváním. K membránovým materiálům lze řadit i plastické fólie s tloušťkou 50÷500 μm používané zejména pro nafukovací polštáře, nejčastěji z ETFE (TEXLON^®), popř. s horšími termomechanickými vlastnostmi z fluoroplastu THV.

Navrhování membránových konstrukcí a jejich podpůrných ocelových konstrukcí je dobře popsáno (viz Seidel [5], Jermoljev [6], Svoboda [7]). Výstižný postup uvedl v krocích Lewis [8]: a) Předběžný návrh tvaru zajišťující v celé oblasti membrány tahové napětí při montáži i zatížení, vyžadující ovšem dostatečné předpětí (základními tvary jsou hyperbolický paraboloid, kužel a membrány na obloucích). b) Výběr upevnění na okrajích (bodové nebo průběžné, tuhé nebo pružné) a příslušných periferních prvků (předpjatá lana, rámové konstrukce, kotvící body nebo lana). c) Hledání tvaru (form-finding proces), obvykle s použitím softwaru na bázi metody hustoty sil (force-density) nebo modernějších sofistikovaných metod (např. Čápová [9]). d) Analýza membránové konstrukce a podpůrné konstrukce pro dané předpětí (které ovlivňuje počáteční geometrii) a zatížení. Jednotlivé kroky návrhu jsou dobře popsány v bohaté literatuře (např. Foster a Mollaert [10], Wakefield [11]).

Vyšetřování konstrukcí s membránami v celé šíři vyžaduje geometricky a materiálově nelineární analýzu s uvažováním imperfekcí (GMNIA). Zatímco geometrická nelinearita a počáteční deformace zásadně ovlivňují stabilitu, napjatost a deformace konstrukce při předpínání i pod zatížením, materiálovou nelinearitu je nutné zvažovat z více hledisek. Materiál membrán je obecně nehomogenní, přinejmenším ortotropní (má jiné vlastnosti ve směrech osnovy a útku) a nelineární. Materiálovými modely se zabývá řada studií (např. Kato a kol. [12], Dinh a kol. [13], Pargana a Leitao [14] a další). Vhodný model navrhli Galliot a Luchsinger [15], který byl implementován do programu SOFiSTiK [16] a který je použit v tomto článku. Podle doporučení pracovní skupiny Tensinet Analysis & Materials [17] lze v běžném návrhu použít pro materiál pružnostní ortotropní lineární analýzu.

Chování membrán a podpůrné konstrukce nelze řešit separátně (viz Macháček a Jermoljev [18]). Kompletní statické řešení nabízejí speciální softwary, popř. obecné programy s doplňkovými moduly (např. Easy [19], ixCube/Rhino membrane [20], SOFiSTiK [21], NDN [22], RFEM [23]). Pro realizaci je nezbytné řešení optimalizace střihu a kompenzací tkaniny membrán (viz např. Gale a Lewis [24]) a vhodné řešení detailů (Seidel [5]). V ČR je řada velmi úspěšných realizací membránových konstrukcí a specialistů pro jejich navrhování (viz např. Archtex [25], Jermoljev [26], Janata a kol. [27]).

Tato studie se zaměřuje na stabilizační efekt membrán vzhledem k podpůrné konstrukci z ocelových oblouků. V první části (1: Experimenty a analýza) je popsán model membránové konstrukce pro zakrytí koncertního pódia, jeho provedení a testování v laboratoři Fakulty stavební ČVUT v Praze. Dále je uvedena numerická analýza pro statické řešení a validace tohoto řešení na výsledcích testů. V druhé části (2: Parametrické studie ocelových oblouků stabilizovaných membránami [28]) je analyzována stabilita oblouků podpírajících válcovou membránu s různými okrajovými podmínkami.

2. Laboratorní model

Návrh modelu vychází z typové řady Dome Stagecover [29] a reprezentuje přístřešek zhruba v měřítku 1:10. Konstrukce má dva ocelové trubkové oblouky pokryté textilní membránou, dolní okraje lanové, s kotevními deskami (obr. 1). Pro membránu byla použita polyesterová tkanina proložená PVC a zalakovaná PVDF (Précontraint FERRARI^® 702S, s neprůsvitným povrchem a váhou 830 g/m²). Patentovaný výrobní postup zajišťuje víceméně stejné deformační vlastnosti membrány v obou směrech (osnovy i útku) a minimální dotvarování. Materiál byl podroben biaxiálním testům ve Stuttgartu [30], vedoucím v obou směrech k únosnosti při porušení S_ult ≈ 56 kN/m, doporučenému zatížení S_max = S_ult / 5 ≈ 11,2 kN/m a předpínání do P = S_max / 5 ≈ 2,2 kN/m. Vnitřní svislý ocelový oblouk má rozměry L/H = 4500×1200 [mm], zatímco vnější lemující oblouk má sklon 60°.

Obr. 1 Geometrie konstrukce a foto

Obě ocelové trubky konstrukce byly vyrobeny z oceli S355J0 a za tepla ohnuty v dílně (JPB Kovovýroba Březenec - Jirkov) a v laboratoři přivařeny k ocelovým blokům pro dokonalé vetknutí. Vnitřní trubka má ø 26,9×3,2 [mm], poloměr R = 2709 mm a je předmětem stabilitního vyšetřování. Vnější lemující trubka má ø 88,9×3,2 [mm]. Z tahových zkoušek vzorků z obou trubek vyplynula průměrná mez kluzu f_y = 475 MPa, pevnost f_u = 595 MPa a tažnost 27,1 %. Modul pružnosti pro vyhodnocení zkoušek byl brán normovou hodnotou E = 210 MPa.

Přípoj membrány k obloukům je patrný z obr. 2. K vnějšímu oblouku je uchycena pomocí hliníkové upínací lišty s keder profilem, k vnitřnímu oblouku byly membrány navlečeny prostřednictvím vystříhaných kapes. Volný obvod membrány byl vyztužen ocelovými lanky ø 6 mm (7×7 lanka CarlStahl) protaženými kapsami membrán a ukončenými nalisovanými závitovými koncovkami. Předpětí membrán bylo dosaženo v ukotvení na nerezových platlích utahováním matic koncovek, částečně i mezi oblouky napínacími šrouby.

Obr. 2 Uložení oblouků, uchycení membrán a kotvení lanek s nerezovou platlí

Vyšetřovaná vnitřní trubka byla vystrojena snímači (elektrickými potenciometry) pro přemístění ve svislém (V), vodorovném (H) a podélném (L) směru. V blízkosti podpor a ve vrcholu oblouku byly na trubku umístěny v podélném směru tenzometry (T) pro měření napětí (vždy na obou površích a na bocích trubky, k eliminaci napětí od ohybu). Po osazení membrán byly na jejich povrch mezi vrcholy oblouků osazeny čtyři dvojice vzájemně kolmých tenzometrů pro orientační zjištění napjatosti membrány. Zatížení bylo aplikováno na závěsy v sedmi bodech (P), viz obr. 3.

Obr. 3 Pohled a půdorys vnitřního oblouku. Umístění zatížení (P), snímačů přemístění (V, H, L) a tenzometrů (T)

2.1 Tvar membrán a jejich předpětí

Přepětí membrán odpovídající tvaru a střihu membrán s danými okrajovými podmínkami podle programu EASY [19] předpokládalo rovnoměrné předpětí přibližně P = 0,5 kN/m. Při montáži byla napínána obvodová lanka a membrána kontrolována vůči zvrásnění. Po dosažení žádaného stavu byly měřeny hodnoty napjatosti na povrchu membrány v okolí oblouků a zjištěno předpětí ve směru oblouků ε_x = 450 μm/m (tj. P_e ≈ 0,31 kN/m) a kolmo na oblouky ε_y = 140 μm/m (tj. P_e ≈ 0,10 kN/m).

2.2 Zatížení a postup měření

Experiment byl zaměřen výlučně na chování vnitřního oblouku a stabilizační efekt membrány. Napřed byl tedy vyšetřován samostatný oblouk a poté celá membránová konstrukce. Z rozdílu lze posoudit stabilizační vliv membrány na chování oblouku.

Zatížení bylo ve formě kalibrovaných váčků naplněných ocelovými broky, zavěšovaných v bodech P oblouku. Přírůstek v zatěžovacím kroku každého bodu byl zhruba 10 kg, následovalo odtížení a zatížení na vyšší stupeň. Zatížení bylo buď symetrické, nebo nesymetrické a bylo ukončeno při dosažení nadměrných deformací (u samostatného oblouku z jeho roviny při ⁓ 80 mm), nebo vysokou hodnotou napětí v uložení oblouku (u membránové konstrukce při dosažení až 287 MPa), obr. 4. Odečty hodnot elektrických potenciometrů (pro průhyby) a tenzometrů byly prováděny po ustálení hodnot (min. 40 s) a následně byly statisticky zpracovány (viz Svoboda [7]). Měření počátečních deformací ve vodorovném směru (potenciometry H) stanovilo pro samostatný oblouk ve vrcholu průhyb w₀ = 17,0 mm, zatímco pro oblouk s membránou byl tento průhyb po předpětí zcela eliminován.

Obr. 4 Maximální tíhy působící na vnitřní oblouk

2.3 Deformace oblouků pod zatížením

a) Symetrické zatížení

Svislé průhyby a napětí v patce vnitřního vyšetřovaného oblouku jsou uvedeny na obr. 5, vodorovné deformace na obr. 6. Vzhledem k pružnému a téměř lineárnímu chování oblouku jsou hodnoty průhybů pro odtížení uvedeny pouze pro finální maximální zatížení. Samostatný oblouk náhle prudce vybočil z roviny oblouku a zatěžování bylo ukončeno při celkovém zatížení zhruba F₀ = 5,5 kN. Následný test s obloukem stabilizovaným membránou byl ukončen při zatížení F_M = 8,3 kN (rozhodnuto pro zachování pružného chování oblouku), přitom svislé průhyby rostly téměř lineárně a vodorovné byly nepatrné. Očekávaná stabilizace oblouku membránou byla tedy mimořádná.

Obr. 5 Svislé průhyby oblouku a napětí v oblouku pro symetrické zatížení

Obr. 6 Vodorovné průhyby oblouku pro symetrické zatížení

b) Nesymetrické zatížení

Zásadní stabilizaci oblouku membránou i při nesymetrickém zatížení ukazuje obr. 7. Zkouška samostatného oblouku byla ukončena při zatížení F₀ = 2,37 kN pro nadměrné nesymetrické deformace v bodech P2 (resp. P6), se svislými průhyby δ₀ = 41,3 (−27,0) mm a vodorovnými průhyby ν₀ = 3,5 mm. Oblouk stabilizovaný membránami se pro stejné zatížení (F_M = F₀ = 2,37 kN) deformoval mnohem méně, se svislým průhybem δ_M = 18,5 (−14,4) mm a vodorovným průhybem ν₀ = 0,5 mm. Stabilizační efekt pro svislé průhyby tak činí 55 % a pro vodorovné průhyby 86 %. Ukázalo se, že stabilizační efekt membrány na deformace i napjatost oblouku se výrazně projevuje jak u symetrických, tak i nesymetrických zatíženích.

Obr. 7 Svislé a vodorovné průhyby oblouku pro nesymetrické zatížení

3. Numerická analýza

Hlavním cílem je sestavení numerického modelu k úspěšné validaci na experimentech a k následné rozsáhlé parametrické studii oblouků podpírajících membránové konstrukce [28]. Použit byl software SOFiSTiK [21], který patří mezi přední softwary k řešení membránových konstrukcí. Vzhledem k subtilnosti podpůrné konstrukce a velkým deformacím v pružném stavu byla zvolena 3D GNIA (geometricky nelineární analýza s imperfekcemi) bez materiálové nelinearity (tj. pružnostní řešení), pro membrány navíc materiálový model Galliota a Luchsingera [15]. K numerickému řešení byla použita modifikovaná Newton-Raphsonova iterace (mN-R) s Crisfieldovou akcelerací (metoda arc-length). V průběhu řešení se pro volené přírůstky zatížení nebo předpětí použilo vždy 50 iterací, pro které byl splněn i požadavek defaultní přesnosti řešení.

3.1 Samostatný oblouk

Orientačně (i vzhledem k následující parametrické studii [28]) byla vyšetřena stabilita ideálního vnitřního oblouku, tj. kritické zatížení, pomocí lineární bifurkační analýzy (LBA). Oblouk je v podporách plně vetknutý (rozměr L/H = 4500×1200 [mm]). Pro svislé symetrické rovnoměrné zatížení po délce oblouku vycházejí kritická celková zatížení N_{cr,sym,celkové,1} = 7,97 kN (z roviny s jednou půlvlnou) a N_{cr,sym,celkové,2} = 9,19 kN (v rovině dvě půlvlny). Pro svislé nesymetrické rovnoměrné zatížení N_{cr,nesym,celkové,1} = 7,91 kN (z roviny s jednou půlvlnou) a N_{cr,nesym,celkové,2} = 9,08 kN (v rovině dvě půlvlny).

Laboratorní samostatný oblouk s počáteční vodorovnou deformací w₀ = 17,0 mm byl vyšetřován 3D GNIA. Použity byly nelineární prvky BEAM s délkou 100 mm. Výsledky řešení a porovnání s testy jsou na obr. 8.

Obr. 8 Samostatný oblouk: Porovnání výsledků testů s 3D GNIA

Pro symetrické zatížení z porovnání s kritickým břemenem (7,97 kN) plyne, že vliv imperfekce je podstatný, avšak numerická únosnost imperfektního oblouku (5,1 kN) je v dobré shodě s experimentem (5,5 kN). Pro nesymetrické zatížení je shoda výsledků testu a numerického řešení rovněž dobrá, avšak test byl ukončen z důvodu velkých průhybů subtilního oblouku předčasně pro jeho zachování k testům s membránou.

3.2 Oblouk stabilizovaný membránou

Obr. 9 Vytvoření geometrie (hranice modelu, vpravo membrána s nejmenší plochou)

Počáteční tvar oblouků a obvodových lanek byl před testem zaměřen. Pro vyšetřovaný vnitřní oblouk byl oproti ideálnímu tvaru zjištěn ve svislém směru mírně antisymetrický tvar (+10,0 mm v místě V1 a −10 mm v místě V3) a ve vodorovném směru ve vrcholu (v místě H2) průhyb 5,5 mm. V nadstavbovém programu pro AutoCAD – SOFiCAD byly odtud vytvořeny hraniční křivky (pro oblouky a obvodová lanka), automaticky generovány plochy s nejmenší plochou a exportovány do programu SOFiSTiK (obr. 9).

Membrány Précontraint FERRARI^® 702S umožňuje program modelovat podle výzkumu Galliota a Luchsingera [15]. Ortotropní charakteristiky byly zavedeny pěti parametry následovně: pro poměr napětí ve směru osnovy (kolmo na oblouk) a útku 1:1 jsou moduly pružnosti E_w^1:1 = 634.9 kN/m a E_f^1:1 = 661.9 kN/m, změny modulů pro jiné poměry napětí jsou ΔE_w = 295 kN/m and ΔE_f = 168 kN/m a Poissonova konstanta ν = 0,196. Uvedené jednotky napětí i modulů se běžně u membrán používají, neboť tloušťka membrány není jednoznačně definována. Pro vstupní data programu byly hodnoty transformovány pro reálnou tloušťku 0,7 mm (odtud E_w^1:1 = 907.0 MPa, E_f^1:1 = 945.6 MPa).

Uložení membrán na obloucích je v celé délce modelováno jako kloubové (tzv. pianový kloub), zatímco při experimentu je na vnitřním oblouku realizováno vystřídanými „kapsami“. Membrány byly pokryty sítí čtyřúhelníkových nelineárních prvků (MEMBRANE) se zjemněním v rozích. Pro zjištění citlivosti na membránovou napjatost pod zatížením byly zadány sítě s nejdelší hranou 25, 50, 100 a 200 [mm]. Výsledky pro krajní dělení se lišily méně než o 0,2 %, zatímco výpočetní čas vzrostl 107krát. Pro další výpočty byla proto použita síť s dělením 50 mm.

Předpětí membrán ve 3D GNIA bylo přímo zavedeno v lokálních osách konečných prvků. V obvodových lankách bylo příslušné předpětí odvozeno ze vztahu:

kde je

S

předpětí v obvodovém lanku [kN],

r

poloměr zakřivení lanka [m],

P

předpětí v membráně kolmo na lanko [kN/m].

Zavedení předpětí v membráně a obvodových lankách bylo provedeno v 10 přírůstcích a generovalo výchozí rovnovážný tvar nezatížené membrány (oproti tvaru s nejmenší plochou na obr. 9 mírně „prohnutější“).

Následně bylo aplikováno rovnoměrné svislé zatížení na vnitřní oblouk v 10 přírůstcích jako při experimentu. Závislost svislého průhybu vnitřního (zkoumaného) oblouku na velikosti předpětí při symetrickém zatížení ukazuje obr. 10.

Obr. 10 Model konstrukce po zavedení předpětí a svislý průhyb středního oblouku při symetrickém zatížení a různém předpětí

Předpětí membrány při testu podle orientačních měření na povrchu membrán (viz odst. 2.1) bylo mezi 0,10 (kolmo na oblouky) až 0,31 kN/m (ve směru oblouků). Nejistota kromě vlivu měření na povrchu membrán místo v jejich vnitřní struktuře spočívá dále v přípoji navlečených membrán na oblouk prostřednictvím „kapes“ oproti kontinuálnímu spojení v numerické analýze. Nicméně numerické řešení s předpětím 0,2 kN/m, které lze považovat za blízké hodnotě při testech, velmi dobře koresponduje s výsledky měření.

4. Závěr

V laboratoři Fakulty stavební ČVUT byl testován štíhlý ocelový oblouk a poté jeho stabilizace textilní membránou. V první fázi byl symetricky a nesymetricky liniově zatěžován vetknutý oblouk s průměrem trubky ø 26,9×3,2 [mm], rozpětím 4500 mm a vzepětím 1200 mm. Byly zaměřeny počáteční deformace, osazeny měřicí přístroje a zaznamenáno prostorové chování oblouku pod zatížením.

Poté byl přidán další vnější oblouk, obvodová lanka a pokrytím membránou z polyesterové tkaniny (Précontraint FERRARI^® 702S) byl vytvořen model přístřešku. Chování původního vnitřního oblouku po předpětí membrán a obvodových lanek bylo monitorováno jako u samostatného oblouku. Porovnáním výsledků byl stanoven vliv stabilizace membránou na stabilitní prostorové chování vnitřního oblouku.

Numerický model samostatného oblouku i membránové konstrukce byl sestaven v programu SOFiSTiK. Použita byla pružnostní geometricky nelineární analýza s počátečními imperfekcemi (GNIA). Popsána jsou vstupní data, ortotropní model membrán, sítě prvků, zavedení předpětí membrán i okrajových lanek.

Výsledky numerického řešení byly porovnány s výsledky testů s velmi dobrou shodou. Validace numerického modelu byla cílem této první části článku. Použité numerické řešení je proto použito v druhé části článku pro rozsáhlé studie stability oblouků podpírajících membránové válcové konstrukce (viz [28]).

5. Literatura

1. Serge Ferrari: https://www.sergeferrari.com/serge-ferrari/our-technologies. (Přístup 2021).
2. Sattler PRO-TEX: Fabrics engineered to perfection. https://protex.sattler.com/en/home. (Přístup 2021).
3. Architen Landrell: https://www.architen.com/materials/tenara/. (Přístup 2021).
4. Cabot: https://www.cabotcorp.com/solutions/applications/construction/tensile-roofing. (Přístup 2021).
5. Seidel, M.: Tensile surface structures - A practical guide to cable and membrane construction. John Wiley & Sons, 2009, 240 s.
6. Jermoljev, D.: Implementace nekovových membrán do ocelových konstrukcí. Ph.D. disertace, FSv ČVUT, 2014, 113 s.
7. Svoboda, O.: Stabilizace ocelového oblouku nekovovou membránou. Ph.D. disertace, FSv ČVUT, 2019, 149 s.
8. Lewis, W. J.: Tension Structures – Form and Behaviour, Thomas Telford Publishing, 2003, 201 s.
9. Čápová, J.: Modelování membránových konstrukcí. Ph.D. disertace, FSv ČVUT, 2010, 132 p.
   https://mat.fsv.cvut.cz/doktorandi/files/JC.pdf. (Přístup 2021).
10. Foster, B. a Mollaert, M.: European Design Guide for Tensile Surface Structures, TensiNet, 2004, 354 s.
11. Wakefield, D. S.: Engineering analysis of tension structures: Theory and practice. Eng. Structures, sv. 21, č. 8, 1999, s. 680-690. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0141029698000236?via%3Dihub. (Přístup 2021).
12. Kato, S., Yoshino, T. a Minami, H.: Formulation of constitutive equations for fabric membranes based on concept of fabric lattice model. Eng. Structures, sv. 21, č. 8, 1999, s. 691-708. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0141029698000248?via%3Dihub. (Přístup 2021).
13. Dinh, T. D., Rezaei, A., De Laet, L., Mollaert, M., Van Hemelrijck, D. a Van Paepegem W. A: A new elasto-plastic material model for coated fabric. Eng. Structures, sv. 71, 2014, s. 222-233. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0141029614002405?via%3Dihub. (Přístup 2021).
14. Pargana, J. B. a Leitao, W. M. A: A simplified stress-strain model for coated plain-weave fabrics used in tensioned fabric structures, Eng. Structures, sv. 84, 2015, s. 439-450.
    https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0141029614007433. (Přístup 2021).
15. Galliot, C. a Luchsinger, R. H.: A simple model describing the non-linear biaxial tensile behaviour of PVC/coated polyester fabrics for use in finite element analysis, Composite Structures, sv. 90, č. 4, 2009, s. 438-447.
    https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0263822309001172?via%3Dihub.
16. SOFiSTiK 2014. https://www.sofistik.de/. (Přístup 2021).
17. Gosling, P.: Basic Philosophy and calling notice, Tensinet analysis & Material working group, Tensinews 13, 2007
18. Machacek, J. a Jermoljev, D.: Steel structures in interaction with non-metallic membranes, J. Civil Engineering & Management, sv. 23, č. 3, 2017, s. 368-377. https://journals.vgtu.lt/index.php/JCEM/article/view/973. (Přístup 2021).
19. Technet gmbh Berlin-Stuttgart, Easy. https://www.technet-gmbh.com/en/products/easy/. (Přístup 2021).
20. ixCube 4-10. http://www.ixray-ltd.com/index.php?option=com_content&view=featured&Itemid=435. (Přístup 2021).
21. SOFiSTiK 2014. https://www.sofistik.de/. (Přístup 2021).
22. membrane NDN software. https://www.ndnsoftware.com/. (Přístup 2021).
23. Dlubal software pro navrhování a analýzu membránových a textilních konstrukcí.
    https://www.dlubal.com/cs/reseni/odvetvi/membranove-konstrukce. (Přístup 2021).
24. Gale, S. a Lewis, W. J.: Patterning of tensile fabric structures with a discrete element model using dynamic relaxation. Computers & Structures, sv. 169, 2016, s. 112-121. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045794916300608?via%3Dihub. (Přístup 2021).
25. Archtex: http://www.archtex.cz/cs/index-onas.html. (Přístup 2021).
26. Jermoljev D.: Ocelové konstrukce a membrány. Excon.
    https://ocelvarchitekture.cz/prednasky/Ocelvarch_Excon_Jermoljev_Ocelove_konstrukce_a_membrany.pdf. (Přístup 2021).
27. Janata, V., Jermoljev D. a Koupený, P.: Baldachýn pro Svatého Otce v Brně Tuřanech. Konstrukce č. 5, 2009, s. 28–29.
28. Macháček, J. a Svoboda, O.: Ocelové oblouky stabilizované membránami. Část 2: Parametrické studie ocelových oblouků stabilizovaných membránami. TZB-info, ocelové konstrukce, podáno k tisku.
29. Warner Shelter Systems Limited - Dome Stagecover, Calgary. https://www.wssl.com/sc_prod.html. (Přístup 2021).
30. Laboratorium BLUM Stuttgart, Report on biaxial tests Précontraint 702, 2005, 8 s.

Poděkování

Článek a související výzkum vznikl za podpory grantu SGS19/150/OHK1/3T/11. Poděkování patří centrálním laboratořím Fakulty stavební ČVUT a firmě Archtex s.r.o. Praha za asistenci při experimentech.