Předpjaté ocelové tlačené trubky s jedním křížem

1. Úvod

Chování tlačeného štíhlého prutu závisí na jeho geometrických a materiálových vlastnostech. Ideální prut (dokonale přímý a bez reziduálních pnutí) ztrácí stabilitu (vybočuje) při dosažení kritického zatížení, zatímco únosnost reálného prutu s počátečními imperfekcemi (prohnutím a reziduálními pnutími) je závislá též na tvaru a velikosti imperfekcí a definici únosnosti (např. únosnost daná dosažením kluzu v nejvíce namáhaných vláknech, tj. vzpěrná únosnost podle současných norem, nebo maximální dosažitelná plastická únosnost, kdy prut opravdu více nepřenese a kolabuje). Únosnost reálného prutu je vždy nižší než jeho kritické zatížení.

Velmi štíhlé pruty jsou žádány jako estetické pohledové prvky, ale velká štíhlost limituje kritické zatížení i únosnost. Použitím předpjatých vzpínadlových prutů lze obě hodnoty násobně zvýšit za cenu zvýšených nákladů na výrobu a montáž, ale i ovlivnit estetické vnímání konstrukce (obr. 1).

Vzpínadlový prut je obvykle tvořen hlavní trubkou s rozpětím L, navařeným trubkovým křížem se čtyřmi rameny s délkou a v úhlu 90° a lanky nebo tyčemi pro vnesení předpětí. Realizovány však byly i pruty s více kříži, popř. kříži se třemi rameny v úhlu 120°, nebo pruty pouze se dvěma rameny v rovinném uspořádání (v kolmém směru k této rovině je potom vybočení příslušně bráněno), obr. 2.

2. Stabilita ideálního vzpínadlového prutu s jedním křížem

Kritické zatížení N_cr prutu v základním uspořádání podle obr. 3 lze odvodit z geometrických vztahů, podmínek rovnováhy a Hookova zákona (Smith a kol. [1], Hafez a kol. [2]). Základní předpoklady analytického odvození:

1. zatížení je v ose hlavního prutu, který je ideálně přímý a bez reziduálních pnutí,
2. spojení mezi hlavním prutem a rameny kříže je tuhé,
3. spojení táhel s hlavním prutem a rameny kříže je neposuvné kloubové,
4. osová deformace ramen kříže je zanedbána,
5. vybočení nastává v rovině ramen.

Pozn.: V důsledku předpokladů 4 a 5 se výsledné kritické zatížení z analytického výpočtu bude poněkud lišit od numerického řešení vhodným softwarem MKP.

Hlavní prut může vybočit v symetrickém nebo antisymetrickém tvaru (obr. 3). Tvar vybočení ovlivňuje geometrie uspořádání (krátká ramena vedou obvykle k symetrickému vybočení), tuhostní poměry mezi hlavním prutem a rameny a též velikost předpětí táhel.

Charakteristiky základního prutu (délka L):
Ac [mm2], Ic [mm4], Ec [MPa]	plocha, moment setrvačnosti, modul pružnosti,
[N/mm], [N/mm]	osová a ohybová konstanta celého prutu.
Charakteristiky ramene kříže (délka a):
Aa [mm2], Ia [mm4], Ea [MPa]	plocha, moment setrvačnosti, modul pružnosti,
[N/mm], [N/mm]	osová a ohybová konstanta ramene kříže.
Charakteristiky táhel (délka Ls):
As [mm2], Es [MPa]	plocha, modul pružnosti.
[N/mm]	osová konstanta táhla.

Kritické zatížení hlavního prutu lze vyjádřit obvyklým vztahem:

kde ohraničující limity plynou z okrajových podmínek:

1. pro prut bez táhel β = 1 (tj. N_cr = N_E, Eulerova síla),
2. pro prut s nekonečně tuhými rameny kříže a nekonečně tuhými táhly, tj. prut v místě kříže vetknutý:
   β = 0,35 (tj. N_cr ≈ 8,18 N_E).

Kritické zatížení prutu se tedy může pohybovat mezi (N_E a 8,18 N_E).

Z analytického řešení předpjatých vzpínadlových prutů [2] plyne, že velikost kritického zatížení pro dané charakteristiky závisí na velikosti předpětí táhel. Jak ukazuje graf na obr. 4, předpětí (v každém táhle označeno písmenem T ) vymezuje 3 oblasti chování vzpínadlového prutu:

Stanovení maximální kritické síly prutu N_cr,max závisí na předpokládaném tvaru vybočení (obr. 3) a plyne z řešení goniometrických rovnic pro hodnotu kl, danou výrazem:

Pro symetrický tvar vybočení je nutné splnit rovnici:

Pro antisymetrický tvar vybočení je nutné splnit rovnici:

Maximální dosažitelné kritické zatížení (obr. 4):

Po vyřešení hodnot kl pro oba tvary vybočení plyne kritické zatížení ze vztahu (11), pro menší z obou hodnot kl:

Optimální předpětí (obr. 4):

3. Únosnost skutečného imperfektního vzpínadlového prutu s jedním křížem

Imperfektní prut lze analyzovat jednak z hlediska pružné nelineární stability (dává obraz o kritickém zatížení v celém rozsahu předpětí a skutečném tvaru vybočení), nebo z hlediska maximální únosnosti při daných imperfekcích (pro spolehlivý návrh).

Z numerických studií nelineární pružné stability MKP (Saito a kol. [3], Píchal a Macháček [4]) pro reálné imperfekce ve tvaru symetrického, antisymetrického a interaktivního vybočení podle obr. 5 a maximální amplitudu L/200 až L/300 v souladu s Eurokódem (EN 1993-1-1) vyplývá, že pro reálný vzpínadlový prut s předpětím blízkým optimálnímu předpětí T_opt podle vztahu (12) je tvar vybočení obvykle interaktivní a často v praxi užívaný návrh na druhý tvar vybočení nemusí být konzervativní.

Experimenty (Osofero a kol. [5]) na 18 vzpínadlových předpjatých prutech ukázaly, že pokud rozhoduje symetrické vybočení, vyšší předpětí zvyšuje únosnost konstrukce (důvodem je aktivní zapojení všech 4 lanek). Naopak rozhoduje-li antisymetrické, popř. interaktivní vybočení, zvyšování předpětí vede ke snížení únosnosti (protože táhla na konkávní straně zvyšují ohyb hlavního prutu).

Únosnost N_max vyšetřovali MKP (ABAQUS software) v parametrické studii Wadee a kol. [6] a výsledky upravili v souladu s experimenty. Ukázalo se, že únosnost imperfektních předpjatých prutů je v zóně 1 a zóně 2 do předpětí cca 0,4 T_opt vyšší než kritická, zatímco pro vyšší předpětí a v zóně 3 až do předpětí 3T_opt nižší než kritická (viz schéma na obr. 6). Obdobné, podrobnější vysvětlení, podali Píchal a Macháček [7]. Pro stabilní chování konstrukce se doporučuje předpětí v rozsahu 2T_opt ÷ 3T_opt, pro něž je pokles kritického zatížení od maximální hodnoty malý a naopak únosnost roste.

Maximální únosnosti N_max podle obr. 6 jsou pro různé amplitudy počátečních prohnutí (tzv. „ekvivalentní imperfekce“) pro symetrické i antisymetrické tvary vybočení a předpětí T_min, T_opt a 3T_opt uvedeny v tabulkách 1 a 2 [6].

Únosnost předpjatého vzpínadlového prutu pro dané předpětí táhel T lze potom stanovit z těchto tabulkových hodnot lineární interpolací v souladu s obr. 6. Amplitudu ekvivalentní počáteční imperfekce lze při návrhu volit podle Eurokódu ČSN 1993-1-1, tabulky 5.1 (pro trubky válcované za tepla hodnotou L/300, pro trubky tvarované za studena hodnotou L/200). Rozhodnutí, zdali rozhoduje symetrické nebo antisymetrické vybočení, je nutné vyhodnotit z obou možností. Interpolační vztahy pro libovolné předpětí lanek T jsou dále uvedeny:

Symetrické vybočení (obvykle rozhoduje pro poměr 2a/L Є (0,05, 0,175):

• předpětí T Є (T_min, 0,4T_opt) → tj. první část zóny 2 (a):
  
  
  (13)
   
  
  
• předpětí T Є (0,4T_opt, T_opt) → tj. druhá část zóny 2 (b):
  
  
  (14)
   
  
  
• předpětí T ≥ T_opt → tj. zóna 3:
  
  
  (15)
   
  
  

Antisymetrické vybočení (obvykle rozhoduje pro poměr 2a/L > 0,175):

• předpětí T ≤ T_min → tj. zóna 1: konstantní hodnoty jsou ve druhém sloupci tab. 2.
  
  
• předpětí T Є (T_min, T_opt) → tj. zóna 2:
  
  (16)
   
  
  
• předpětí T ≥ T_opt → tj. zóna 3:
  
  (17)
   
  
  

4. Závěr

Kritické zatížení ideálního tlačeného prutu i skutečnou únosnost imperfektního tlačeného prutu lze výrazně zvýšit předepnutím prostřednictvím táhel vedených přes středový kříž. Běžné jsou vzpínadlové tlačené sloupy z trubek, u nichž lze teoreticky dosáhnout zvýšení kritické síly až na 8,18 Eulerovy síly a několikanásobné zvýšení kolapsové únosnosti oproti nepředpjatému prutu.

Pro praktický návrh vzpínadlového prutu dané geometrie, průřezů a materiálů jsou uvedeny vztahy pro stanovení tvaru jeho vybočení, optimální předpětí táhel a maximální teoretické pružné únosnosti.

Na FSv ČVUT byl proveden experimentální i teoretický výzkum, který zahrnuje vzpínadlové trubkové tlačené prvky z běžné i korozivzdorné (nerezové) oceli, táhly z lanek i tyčí a s jedním nebo dvěma kříži [7], [8].

5. Příklad

Výše uvedené vztahy jsou použity pro určení návrhové únosnosti tlačené vzpínadlové trubky z austenitické nerezové oceli 1.4301 (mez kluzu f_y = 210 MPa, modul pružnosti E = 200 GPa).

Geometrie a parametry prutu (obr. 7):

Hlavní trubka 50×2 [mm], L = 5000 mm:

Rameno trubkového kříže 25×1,5 [mm], a = 250 mm:

Táhla z nerezových lanek Macalloy 1×19, Ø 4 mm (N_max = 12,6 kN, N_Rd = N_max/1,5γ_R = 12,6/(1,5‧1,0) = 8,4 kN, E = 107 GPa):

Eulerova kritická síla nepředpjatého prutu:

Úhel lanek s hlavním prutem: α = 5,71° (tj. cos α = 0,995; sin α = 0,0994).

Symetrické vybočení, rovnice (9):

Řešení je (kl)_sym = 3,105.

Antisymetrické vybočení, rovnice (10):

Řešení je (kl)_anti = 3,602.

Rozhoduje menší kritické zatížení, tj. symetrické vybočení, takže z rovnice (11) plyne:

Optimální předpětí z rovnice (12):

Podle doporučení uvedeného v odstavci 3 je voleno stabilní návrhové předpětí T = 2T_opt  = 2 ‧ 545 = 1090 N < N_Rd = 8400 N. Pro trubku válcovanou za studena je podle Eurokódu 3 počáteční imperfekce L/200. Odtud pro rozhodující symetrické vybočení a imperfekci L/200 z tabulky 1 a rov. (15) plyne:

Kritické zatížení pro předpětí každého táhla 2T_opt = 1090 N plyne ze vztahu (6) v zóně 3:

kde podle vztahu (7):

Odtud teoretická únosnost pro předpětí 2T_opt :

Návrhová únosnost pro nerezovou ocel (γ_M1 = 1,1):

Poznámka:
Tuto únosnost lze porovnat s únosností stejného, ale nepředpjatého prutu z nerezové oceli 1.4301 podle Eurokódu ČSN EN 1993-1-4, pro nějž vychází: N_cr = 6870 N, štíhlost , α = 0,49, , součinitel vzpěrnosti χ = 0,033. Odtud pro návrhovou únosnost plyne:

Plná prostá únosnost tlačeného prutu činí:

Poměr návrhových únosností předpjatého a nepředpjatého prutu tedy činí: 11017/1900 = 5,8.

6. Oznámení

Článek a související výzkum vznikl za podpory grantu GAČR č. 17-24769S.

7. Literatura

1. Smith, R.J., McCaffrey, G.T., Ellis, J.S.: Buckling of a single cross-arm stayed column. Journal of the Structural Division ASCE ST1, Jan. 1975, s. 249–288.
2. Hafez, H.H., Temple, M.C., Ellis, J.S.: Pretensioning of single-crossarm stayed columns. Journal of the Structural Division ASCE ST2, Feb. 1979, s. 359–375.
3. Saito, D., Wadee, M.A.: Numerical studies of interactive buckling in prestressed steel stayed columns. Engineering Structures, 31, 2009, s. 432–443.
4. Píchal, R., Macháček, J.: Buckling and post-buckling of prestressed stainless steel stayed columns, Procedia Engineering, Vol. 172, 2017, pp. 875–882.
5. Osofero, A.I., Wadee, M.A., Gardner, L.: Experimental study of critical and post-buckling behaviour of prestressed styed columns. Journal of Constructional Steel Reesearch, 79, 2012, s. 226–241.
6. Wadee, M.A., Gardner, L., Osofero, A.I.: Design of prestressed stayed columns. Journal of Constructional Steel Reesearch, 80, 2013, s. 287–298.
7. Píchal, R. – Macháček, J.: Single-crossarm stainless steel stayed columns, Advances in Technology Innovation, Vol. 3, No. 1, 2018, pp. 9–16.
8. Macháček J. – Pichal, R.: Buckling and collapse capacity of prestressed steel tube stayed columns with one and two crossarms, Thin-Walled Structures, Vol. 132, 2018, s. 58–68.