Navrhování tvarů membránových konstrukcí a výpočet střihových vzorů
Membránové konstrukce během projekční činnosti vyžadují speciální přístup, který respektuje jejich odlišnost od konvenčních staveb. Nedílnou součástí navrhování těchto staveb je proces hledání vhodných předepjatých tvarů a generování střihových vzorů. Text stručně popisuje dva zásadní procesy při navrhování membránových konstrukcí. Záměrem je přiblížit jejich fyzikální povahu a demonstrovat jednotlivá tvrzení doprovodnými příklady.
Membránové konstrukce představují jeden ze současný trendů stavebního inženýrství. Jsou charakteristické svými expresivními tvary, lehkostí či efektivním využitím materiálu. V důsledku absence ohybové tuhosti se tyto konstrukce vyznačují neoddělitelností svého tvaru od napjatosti. To vede k nutnosti hledání jejich tvarů, které nemohou být voleny libovolně. Tyto tvarově rozmanité konstrukce jsou realizovány z rolí tkanin či fólií. Z rovinných pásů materiálu jsou vytvářeny střihy, jejichž spojením a napnutím do konečné polohy získáme zamýšlenou konstrukci. Proces výpočtu střihového vzoru je velmi citlivým krokem projekční činnosti a jeho kvalita silně ovlivňuje kvalitu celé konstrukce. Následující článek bude zaměřen právě na tyto dva zásadní procesy, navrhování tvarů membránových konstrukcí a výpočet střihových vzorů. Důraz bude kladen na praktické poznatky využitelné při projekční činnosti.
Navrhování tvarů membránových konstrukcí
V rámci této kapitoly bude nejprve krátce popsána fyzikální podstata navrhování tvarů membránových konstrukcí. Dále bude pojednáno o uskutečnitelnosti projektantem požadovaného předpětí. Následně bude text doplněn praktickými příklady, jejichž cílem je demonstrovat popisovaná tvrzení.
Navrhování membránových konstrukcí se od zaběhlé projekční činnosti značně liší. V důsledku toho, že používaný materiál se vyznačuje prakticky jen tahovou únosností, nelze tvar volit libovolně. Tvar je neoddělitelně spjat s předpětím. Jedná se o esenciální propojení estetických aspektů staveb s jejich fyzikální podstatou.
Tvar membránových konstrukcí je dán jejich okrajovými podmínkami a rovnovážnou prostorovou soustavou sil. Proces hledání tvaru může být obecně popsán pomocí následujícího vzorce (1). Rovnovážný tvar je nalezen tehdy, pokud je změna virtuální práce −δW nulová, tedy pokud je součet virtuální práce konané požadovaným předpětím σ a virtuální práce konané vnějším zatížením 
(přetlak, vlastní tíha) roven nule.
(1)
V uvedeném vzorci představuje t tloušťku použitého materiálu, 
změnu přetvoření materiálu a δu deformaci po ploše konstrukce Ω.
Kromě některých teoretických problémů, které musejí být překonány při řešení této úlohy, existuje ještě jeden zásadní problém. Úloha předpokládá, že předpětí je definováno předem. To však není obecně možné. Vzhledem k tomu, že membránové konstrukce se vyznačují dvojitou křivostí (tedy nenulovou Gaussovou křivostí), nemůže v nich existovat homogenní ortotropní předpětí. Stav, kdy je v každém bodě membrány ve směru osnovy jedna konkrétní hodnota předpětí a jedna konkrétní hodnota ve směru útku, není teoreticky možný. Jedinou výjimkou je izotropní předpětí, kterého může být dosaženo, je-li tvar při daných okrajových podmínkách fyzikálně možný.
V důsledku výše uvedeného je tak i samotné předpětí předmětem hledání. Tento proces, běžně nazývaný jako form-finding, tedy není pouhým hledáním neznámého tvaru pro dané předpětí, ale jedná se o hledání neznámého tvaru pro obecně neznámé předpětí. Toto předpětí je projektantem aproximováno zadanou hodnotou předpětí v osnově a útku. V důsledku povahy řešené úlohy byla pro form-finding navržena řada metod. Uživatel se může při použití různých programů často setkávat se skutečností, že pro stejné zadání obdrží více či méně odlišné řešení. To přirozeně vede k otázce, které řešení je optimální. V následujícím textu budou prezentován příklady různých konstrukcí a požadovaných předpětí.
![Obr. 1 Základní tvary membránových konstrukcí [1]](/docu/clanky/0155/015513o4.png)
![Obr. 1 Základní tvary membránových konstrukcí [1]](/docu/clanky/0155/015513o5.png)
![Obr. 1 Základní tvary membránových konstrukcí [1]](/docu/clanky/0155/015513o6.png)
![Obr. 1 Základní tvary membránových konstrukcí [1]](/docu/clanky/0155/015513o7.png)
Obr. 1 Základní tvary membránových konstrukcí [1]
Jako první příklad je zvolena membrána tvaru hyperbolického paraboloidu (Obr. 2, Obr. 3). Pro toto zadání bude použito jak izotropní, tak ortotropní předpětí. V případě izotropního předpětí budou prezentovány dva různé výsledky procesu hledání rovnovážného tvaru (Obr. 4, Obr. 5) a doprovozeny krátkým komentářem. Zadané hodnoty izotropního předpětí jsou nosnova = nútek = 2.00 kN/m. Obvodovým lanům je zadán relativní průvěs s = 8.00 %. Výsledky jsou znázorněny v podobě vektorů hlavních vnitřních sil a barevné stupnice.
Obr. 2 Membránová konstrukce tvaru hyperbolického paraboloidu
Obr. 3 Síť konečných prvků a orientace vláken osnovy (červená) a útku (zelená)
Obr. 4 Vektory hlavních vnitřních sil n1, n2
Při obdržení dvou různých výsledků pro stejné zadání je první a zcela přirozená otázka, které řešení je správné. Z teoretického pohledu jsou správná obě, protože obě reprezentují rovnovážný stav a jsou realizovatelné. Nicméně levé řešení se vyznačuje rovnoměrným předpětím bez koncentrací v rozích, které jsou nežádoucí. Tyto koncentrace předpětí redukují únosnost konstrukce a vedou k nerovnoměrnému působení reologických účinků. Z tohoto pohledu je levé řešení výhodnější. Obecně je výhodné nalézt tvar s rovnoměrně distribuovaným předpětím bez lokálních koncentrací. Membránová konstrukce je tak dobře předepjatá a zároveň není redukována její únosnost nadměrným předpětím některých regionů.
Jak bylo uvedeno dříve, izotropní předpětí je jediné homogenní předpětí, které může být dosaženo přesně. Dosažená přesnost je limitována prakticky pouze velikostí sítě konečných prvků. Hrubší síť nemůže přesný rovnovážný tvar aproximovat tak přesně a proto u ní může docházet k odchylkám od zadaných hodnot předpětí. Tyto odchylky by však měly zůstat v malém rozsahu a ani použití hrubší sítě nemusí vést k výrazné koncentrace předpětí.
Při druhém výpočtu budou použity stejné okrajové podmínky. Předpětí bude zadáno jako ortotropní s hodnotami nosnova = 4.00 kN/m a nútek = 2.00 kN/m. Obvodovým lanům je zadán relativní průvěs s = 8.00 %. Jak bylo uvedeno výše, přesného homogenního ortotropního předpětí nelze dosáhnout, protože to při dvojité křivosti membránových konstrukcí není teoreticky možné. Může však být dosaženo tvaru s takovým předpětím, které blízce aproximuje zadané hodnoty (Obr. 5). Výsledkem je rovnoměrně distribuované předpětí aproximující zadané vstupní hodnoty. U této konstrukce není důvod k žádným výrazným koncentracím.
Obr. 5 Vektory hlavních vnitřních sil n1, n2
Pro většinu tvarů, jakými jsou například hyperbolické paraboloidy, membrány na obloucích či přetlakové membrány (Obr. 1) může být výsledné předpětí rovnoměrně distribuované a není potřeba lokálních koncentrací předpětí. U vysokých kónických tvarů se však oblastem s koncentracemi předpětí vyhnout nelze. Tyto koncentrace jsou nezbytné v oblasti vrcholu, ale v rozích níže nejsou nutné a ani žádoucí (Obr. 6).
Obr. 6 Vektory hlavních vnitřních sil a n1, n2 a normálové síly N
Nutnost koncentrace předpětí lze intuitivně odvodit od následujícího vzorce (2). Tento vzorec reprezentuje rovnováhu sil v bodě, kde n1 a n2 jsou hlavní vnitřní síly, 1/R1 a 1/R2 jsou křivosti ve směrech těchto sil a p je případné vnější zatížení.
(2)
Pokud uvážíme antiklastickou konstrukci, u které má vlastní tíha zanedbatelný význam na nalezený tvar, je rovnováha sil v uzlu dána předpětím a opačnými křivostmi. Můžeme si položit otázku, zdali je u dané konstrukce prudká změna křivosti nutná. Pokud ano, je u této konstrukce koncentrace předpětí přirozená, pokud ne, není u dané konstrukce koncentrace předpětí vůbec nutná. Tuto metodiku lze intuitivně aplikovat na uvedené příklady. U tvarů bez kónických oblastí (Obr. 4, Obr. 5, Obr. 8, Obr. 10 vyjma kónických oblastí) není nutnost prudkých změn křivostí, a proto mohou být předepjaty rovnoměrně. U kónických oblastí existuje rychlá změna radiálních a tangenciálních křivostí, a proto je zde prudká změna předpětí nevyhnutelná (Obr. 6, Obr. 10 kónické oblasti).
Obr. 7 Membrána na obloucích
Obr. 8 Rovnoměrné izotropní předpětí zobrazené vektory hlavních vnitřních sil n1, n2
Obr. 9 Membránová konstrukce
Obr. 10 Vektory hlavních vnitřních sil n1, n2
V závěru této kapitoly jsou prezentovány tvary dvou komplexnějších konstrukcí (Obr. 7, Obr. 9) a jejich předpětí (Obr. 8, Obr. 10). Pro dosažení maximálně přesných výsledků jak v procesu hledání rovnovážného předepjatého tvaru, tak v nelineární statické analýze, je nezbytné modelovat konstrukci jako celek a nerozdělovat ji na části. Tím je zajištěno spolupůsobení všech částí konstrukce a zohledněna redistribuce sil v důsledku deformací.
Výpočet střihových vzorů
V následujícím textu bude stručně popsán proces vytváření střihových vzorů. Bude pojednáno o dílčích částech tohoto procesu a později také prezentován praktický příklad, který demonstruje vliv materiálových charakteristik na tvar střihových vzorů.
Jak již bylo zmiňováno v předchozím textu, jedním z nejcharakterističtějších rysů membránových konstrukcí je jejich dvojitá křivost, v důsledku čehož je jejich tvar nerozvinutelný do rovinné plochy. Membránové konstrukce jsou z rolí rovinných tkanin realizovány. Pro tento účel je nutné vygenerovat střihový vzor, tedy jednotlivé rovinné střihy, které aproximují své předlohy v prostoru. Samotný proces generování střihového vzoru se skládá ze dvou částí, rozdělení membránové konstrukce pomocí řezných linií na jednotlivé prostorové střihy a nalezení pokud možno nejlepší aproximace těchto prostorových střihů rovinnými střihy.
Rozdělení membránové konstrukce na dílčí části může být provedeno teoreticky jakoukoli linií. Z praktických důvodů se však nejčastěji používají geodetické řezy (Obr. 11 vlevo), jejichž dobře známou výhodou je přímá osa střihů po zploštění (Obr. 12 vlevo). Méně časté jsou pak řezy vzniklé průnikem membrány s rovinou (Obr. 11 vpravo), které po zploštění nejsou přímé (Obr. 12 vpravo), v důsledku čehož dochází k větší spotřebě materiálu z rolí tkanin či fólií.
Obr. 11 Hyperbolický paraboloid rozdělený geodetickými řezy (vlevo) a rovinnými řezy (vpravo)
Obr. 12 Střihové vzory vytvořené pomocí geodetických řezů (vlevo) a rovinných řezů (vpravo)
Druhá část generování střihových vzorů je mnohem komplexnější úlohou, kdy je hledána nejbližší aproximace prostorového střihu rovinným střihem. Pro tento proces byla navržena řada metod, z nichž historicky nejstarší jsou založeny na zjednodušeném geometrickém přístupu, pozdější na pokročilejším matematickém mapování. Současné pokročilé metody vycházejí z mechaniky kontinua, kdy je výpočet střihových vzorů založen na nelineární analýze s využitím metody konečných prvků (MKP).
Tato poslední metoda je nejobecnějším řešením dané aproximativní úlohy a je zde možno zohlednit materiálové charakteristiky použité textilie či fólie. Pokud projektant nemá v plánu zohlednit ortotropní povahu textilního materiálu či příčnou kontrakci, lze použít izotropní materiál s Poissonovým součinitelem v = 0. Pokud však existuje záměr použít v procesu zplošťování střihu materiálové charakteristiky, je možno dosáhnout optimálního tvaru výsledného střihu.
Během testování textilních materiálů používaných pro membránové konstrukce bývá obvykle zjišťována tuhost ve směru osnovy a útku a Poissonův součinitel. Smyková tuhost bývá obvykle zanedbávána. V následujícím příkladu bude prezentován vliv smykové tuhosti na tvar výsledného střihu. Pro účely tohoto příkladu je použit jeden ze středních střihů membrány tvaru hyperbolického paraboloidu (Obr. 11). Pro střih jsou použity dva různé materiály. První z materiálů je tkanina s povrchovou úpravou: Eosnova = 1600 kN/m, Eútek = 1200 kN/m, vosnova/útek = 0.05 a G = 400 kN/m. Druhým materiálem je textilní síť bez povrchové úpravy: Eosnova = 1600 kN/m, Eútek = 1200 kN/m, vosnova/útek = 0.05 a G = 10 kN/m. Na následujícím obrázku (Obr. 13) jsou prezentovány výsledné rovinné střihy. Při zarovnání těžišť obou střihů do jednoho bodu a přiblížení výřezu pravé části střihů (Obr. 14) je patrný rozdíl obou tvarů. Pokud jsou zohledněna materiálová data, může být dosaženo střihů s vyšší kvalitou. Skutečné předpětí v konstrukci po její instalaci se pak navrženému předpětí blíží více.
Obr. 13 Střih z tkaniny s povrchovou úpravou (horní) a textilní síť bez povrchové úpravy (dolní)
Obr. 14 Rozdíl tvarů střihů při použití různých materiálů
Při výpočtu střihů je aplikována i kompenzace určená biaxiálními testy, která simuluje uvolnění předpětí v tkanině.
Nelineární výpočet metodou konečných prvků vede k nalezení energeticky optimálního rovinného střihu k jeho prostorové předloze. Jedná se o nejpřirozenější způsob výpočtu, protože vychází z fyzikální povahy daného problému.
V procesu generování střihového vzoru je možné vzít v úvahu také další konstrukční požadavky. Jedním z nejčastějších je požadavek na zachování stejné délky na sebe přiléhajících hran sousedních střihů. Dalším častým požadavkem je použití odlišné kompenzace pro některé z okrajů střihů, což je často označováno jako dekompenzace okrajů střihů. S využitím nelineární analýzy je nalezen energeticky optimalizovaný střih při dodržení těchto konstrukčních požadavků.
Závěr
Cílem tohoto příspěvku bylo stručně popsat a charakterizovat dva zásadní procesy při navrhování membránových konstrukcí. Záměrem bylo přiblížit jejich fyzikální povahu a demonstrovat jednotlivá tvrzení doprovodnými příklady. Uvedené příklady byly vytvářeny v inženýrském programu RFEM společnosti Dlubal Software s.r.o. [2].
Poděkování
Příspěvek byl napsán za podpory projektu FAST-J-15-2803.
Odkazy
- Architen Landrell, http://www.architen.com/articles/basic-theories-of-tensile-membrane-architecture
- Dlubal Software s.r.o., https://www.dlubal.com/cs/reseni/odvetvi/membranove-konstrukce
Membrane structures represent one of the current trends in civil engineering. The characteristic features of those structures are expressive shapes, lightness and an efficient usage of material. Due to the absence of bending stiffness it is not possible to separate their shape from their internal forces. This leads to the necessity of searching for their shapes, which can not be chosen freely. These structures are manufactured from roles of textile or foil. Patterns are created from planar strips of material. Consequently they have to be joined together and erected to the final position of the membrane structure. The process of cutting patterns generation is a really sensitive task of the whole design process and the pattern quality has a strong influence on the quality of the whole structure. The following paper will be focused on these two crucial processes, designing the shape of the membrane structures and the calculation of the cutting patterns. Special emphasis will be placed on practical notes which can be used in the design process.