Stanovení zvukové pohltivosti Helmholtzových rezonátorů metodou přenosové matice

Článek byl vydán v rámci odborné konference doktorského studia Juniorstav 2021. Byl oceněn a recenzován odbornou porotou konference a okomentován spolupracovníky redakce TZB Info.

1. Úvod

Helmholtzův rezonátor je typem akustického rezonátoru s otevřenou konstrukcí, který se v běžném prostředí budov vyskytuje ve formě děrovaných předstěn či stropů a představuje nejčastěji řešení konkurenční k porézním pohlcovačům. Zavedení výrobci (Rigips [1], Knauf [2]) v tomto ohledu cílí především na co nejširší komerční uplatnění, což vede k produktům konstruovaným pro účinnost v širokém frekvenčním pásmu od středních do vysokých kmitočtů (přibližně 250–4000 Hz).

Výzvou v oblasti prostorové akustiky je především tlumení kmitočtů nízkých (31,5–250 Hz), ať už jde o prosté zkracování doby dozvuku nebo potýkání se s určitým dominantním módem místnosti. Především zde představují rezonátory prostorově málo náročné a zároveň efektivní řešení. Na rozdíl od porézních pohlcovačů navíc může rezonátor působit útlum pouze na úzkém frekvenčním pásmu, což je často výhodné z hlediska zabránění přetlumení ve vyšších oktávách. Přes všechny tyto výhody je kvůli malé poptávce často nemožné nalézt komerční produkt vyhovující potřebám specifické místnosti a je nutné přistoupit k vlastnímu návrhu takové konstrukce. Ten v současné praxi probíhá nejčastěji graficky. Grafická metoda byla využívána převážně v minulosti, kdy chyběl výpočetní výkon pro detailní výpočet. Příspěvek prezentuje metodu přenosové matice a elektro-akustické analogie, které nejsou nové ve smyslu přístupu nebo fyzikálního vyjádření chování, pouze se dnes díky výkonu výpočetní techniky staly jednoduchou a rychlou pomůckou pro návrh nejen děrovaných rezonátorů. Návrh rezonátorů provedený pomocí uvedeného postupu je v textu porovnán s in-situ měřením v dozvukové místnosti.

2. Současný stav problematiky

Chováním a využítím Helmholtzových rezonátorů se v minultosti zabývala celá řada odborníků. Jedno ze zásadních pojednání publikoval U. Ingard [3] již v roce 1953, výzkum však probíhá dodnes napříč různými odvětvími akustiky [4] a [5].

Co se týče využití v prostorové akustice, výzkum se odehrával v několika rovinách, přičemž pro tento článek jsou důležité především dvě: jednak akustická charakteristika jednotlivých vrstev rezonátoru a za druhé nalezení vhodného způsobu, jak tyto vrstvy kombinovat. Již v roce 1970 publikovali Delany a Bazley [6] svůj empirický model pro výpočet charakteristické akustické impedance porézního materiálu, který je v různých variantách používán dodnes. Cremer a Müller [7] poté v roce 1978 definovali výpočet charakteristické impedance kruhových a čtvercových otvorů v rezonátoru na základě jejich geometrie a vzájemné polohy. Ve stejné publikaci [7] je pak možné nalézt i podklady pro grafický návrh rezonátoru nebo odvození analogického elektrického obvodu k rezonanční soustavě. Tyto a další jednotlivosti, mnohdy výrazně mladšího data, shrnují do použitelného postupu výpočtu Trevor J. Cox a Peter D‘Antonio v obsáhlé knize Acoustic Absorbers and Diffusers: Theory, Design and Application [8], kde také aplikují přenosovou matici pro kombinaci porézních vrstev tak, jak ji uvádí Allard a Atalla [11].

3. Metodika

V rámci příspěvku je porovnán výpočet a měření činitele zvukové pohltivosti α [–] dvou variant uspořádání konstrukce rezonátorů. Výstupem výpočtu je činitel zvukové pohltivosti pro kolmý dopad vln α_n [–], zatímco výstupem měření v dozvukové místnosti je Sabinův činitel zvukové pohltivosti α_S [–]. To jsou obecně rozdílné veličiny, ale Cox a D'Antonio [8] uvádějí, že v případě Helmholtzových rezonátorů se jejich průběh zásadně neliší.

Co se týče geometrického uspořádání konstrukce, obě varianty jsou tvořeny souvrstvím děrované cementovláknité desky a dutiny hloubky 120 mm částečně vyplněné pohltivým materiálem ve formě desek z PES recyklátu tloušťky 50 mm. U varianty (a), viz Obr. 1 vlevo, je tento pohltivý materiál umístěn na spodní straně dutiny, mezi děrovanou deskou a porézním materiálem tedy vzniká vzduchová vrstva tl. 70 mm. Varianta (b), viz Obr. 1 vpravo, ukazuje naproti tomu opačné uspořádání vrstev dutiny, pohltivý materiál se zde nachází na styku s děrovanou deskou. Poloha porézního deskového materiálu byla ve variantě (b) zajištěna rastrem ze silonových vláken, na které byl ukládán. Děrovaná deska byla s ohledem na materiálové vlastnosti a rezonanční kmitočet zvolena v tl. 10 mm a pomocí CNC zařízení byla děrována kruhovými otvory s průměrem 10 mm v pravidelném čtvercovém rastru s osovou roztečí 56 mm. Měrný odpor proti proudění vzduchu porézního materiálu byl experimentálně stanoven na σ = 4,008 kPa·s·m⁻².

Obr. 1: Schéma uspořádání helmholtzova rezonátoru s děrovanými cementovláknitými deskami, (a) s porézní materiálem umístěným dole – vlevo, (b) s porézním materiálem umístěným nahoře – vpravo, specifikace rozměrů rezonátorů [mm]

Měření bylo prováděno metodou přerušeného šumu dle ČSN EN ISO 354 – Akustika – Měření činitele zvukové pohltivosti v dozvukové místnosti [9], za použití všesměrového zdroje Brüel&Kjær OmniPower 4296, výkonového zesilovače Brüel&Kjær Power Amplifier Type 2716 a měřícího mikrofonu Beyerdynamic MM1. Zařízení byla připojena přes zvukovou kartu Steinberg UR22 do PC, kde byl generován šum a zaznamenáván dozvuk. Na Obr. 2 je zachyceno prostředí dozvukové místnosti a aplikace cementovláknitých desek při experimentálním měření. Rozmístění difuzorů bylo provedeno náhodně tak, aby byla zvýšena difuzivita zvukového pole, viz Obr. 2.

Obr. 2: Dozvuková místnost při experimentálním měření činitele zvukové pohltivosti – vlevo, uspořádání děr v cementovláknitých deskách – vpravo

Vstupními veličinami metody přenosové matice jsou charakteristické impedance jednotlivých vrstev konstrukce, které jsou pak pomocí níže uvedených vztahů zkombinovány do výsledné povrchové impedance na povrchu rezonátoru. Charakteristickou impedanci vzduchové vrstvy z_air [Pa·s·m⁻¹] je možné spočítat ze vztahu:

 , (1)

kde c [m·s⁻¹] představuje rychlost šíření zvuku ve vzduchu, ρ [kg·m⁻³] hustota vzduchu.

Výpočet charakteristické impedance z_c [Pa·s·m⁻¹] a komplexního vlnového čísla k [m⁻¹] porézního materiálu na bázi PES vláken podle Garai-Pompoli [9] modelu vychází ze známé hodnoty měrného odporu proti proudění vzduchu σ = 4,008 kPa·s·m⁻² tohoto materiálu. Samotný výpočet je tvořen následujícími vztahy podle [6] a [9]:

 , (2)

 , (3)

 , (4)

kde X [–] je bezrozměrná veličina pro výpočet, ρ [kg·m⁻³] hustota vzduchu, i [–] imaginární jednotka a f [Hz] frekvence.

Měrné impedance lze kombinovat a vypočítat tak impedance na povrchu první (z₁) a druhé vrstvy (z₂) podle [11]:

 , (5)

 , (6)

kde z_c1 [Pa·s·m⁻¹] resp. z_c2 [Pa·s·m⁻¹] je charakteristická impedance vrstvy, k₁ [m⁻¹] resp. k₂ [m⁻¹] je vlnové číslo vrstvy a l₁ [m] resp. l₂ [m] je tloušťka vrstvy.

Impedanci na povrchu rezonátoru z₃ [Pa·s·m⁻¹] je poté možné určit ze vztahu podle [11]:

 , (7)

kde r_m [Pa·s·m⁻¹] je akustický odpor otvorů a z_m [Pa·s·m⁻¹] impedance kmitající hmotnosti otvoru. Tyto získáme pomocí vztahů podle [11]:

 , (8)

 , (9)

kde ε [–] je činitel děrování, t [m] je tloušťka desky, a [m] je poloměr otvoru, v [m²·s⁻¹] je kinematická viskozita vzduchu a δ [–] je koncová korekce dle Cremera a Müllera [7].

Činitel odrazu pro kolmý dopad vln R [–] a činitel zvukové pohltivosti pro kolmý dopad vln α [–] se na závěr vypočte ze vztahů:

 , (10)

 . (11)

4. Výsledky

Obr. 3: Průběh činitele zvukové pohltivosti varianty (a) s porézním materiálem dole a varianty (b) s porézním materiálem nahoře, srovnání experimentálně stanovených hodnot s vypočtenými hodnotami

Graf průběhu činitele zvukové pohltivosti, viz Obr. 3, znázorňuje srovnání výpočtu rezonátoru s naměřenou hodnotou. Graf obsahuje křivky výpočtu pro obě varianty polohy porézního materiálu v dutině a také výsledné průběhy naměřeného činitele zvukové pohltivosti obou variant.

Výpočet se dle přiloženého grafu Obr. 3, v obou případech shoduje v rezonanční frekvenci, která činí 180 Hz, ale poloha porézní vrstvy výrazně zasahuje do výsledného maxima činitele zvukové pohltivosti α [–], které se zde pohybuje v rozmezí 0,5 až 0,85. Jakost rezonátoru se s polohou výplně téměř nemění.

Experimentálně stanovené hodnoty se oproti výpočtu vzájemně liší méně. Rezonanční frekvence se v obou případech pohybuje okolo 160 Hz a poloha porézní výplně má vliv především na jakost rezonátoru, ne tolik na maximum činitele zvukové pohltivosti, který zde dosahuje hodnoty 0,95 až 1. Větší hodnoty činitele zvukové pohltivosti dosahuje varianta s porézním materiálem vzdáleným od perforované desky.

5. Závěr

Výpočet metodami přenosové matice a elektro-akustické analogie představuje určitý pokrok vůči grafickým metodám, a to jak z hlediska přesnosti, tak i z hlediska rychlosti návrhu. Výsledky v případě rezonanční frekvence dosahují přiměřené přesnosti pro použití v inženýrské praxi, průběhy činitele zvukové pohltivosti je však nutné brát s jistým odstupem a srovnávat s vlastní zkušeností.

Na základě vyhodnocených a prezentovaných dat lze usoudit, že výpočet výslednou pohltivost spíše podhodnocuje, v některých případech i výrazně a je důležité uvažovat s rizikem tzv. přetlumení navrhovaného prostoru. Následný výzkum by měl směřovat ke zpřesnění predikce chování porézní výplně uvnitř akustických rezonátorů a k ověření míry nezávislosti chování rezonátorů na úhlu dopadajícího zvuku.

6. Literatura

1. Perforované desky RIGIPS. Rigips s.r.o. [online]. [cit. 2021-03-09]. Dostupné z:
   https://www.rigips.cz/produkty/kategorie/perforovane-desky/
2. Akustické desky KNAUF. Knauf PRAHA spol. s.r.o. [online]. [cit. 2021-03-09]. Dostupné z:
   https://www.knauf.cz/produkty/akusticke-desky
3. INGARD, Uno. On the Theory and Design of Acoustic Resonators. Journal of the Acoustical Society of America. 1953, 25(6), 1037–1061. Dostupné z: doi:10.1121/1.1907235
4. COULON, J.-M., N. ATALLA a A. DESROCHERS. Optimization of concentric array resonators for wide band noise reduction. Applied Acoustics. University of Sherbrooke, Canada: Elsevier, 2016, 113, 109-115. ISSN 0003682X(ISSN). Dostupné z: doi:10.1016/j.apacoust.2016.06.015
5. LANGFELDT, F., H. HOPPEN and W. GLEINE. Broadband low-frequency sound transmission loss improvement of double walls with Helmholtz resonators. Journal of Sound and Vibration. 2020, 476. ISSN 10958568. Dostupné z: doi:10.1016/j.jsv.2020.115309
6. DELANY, M. E. a E. N. BAZLEY. Acoustical properties of fibrous absorbent materials. Applied Acoustics. 1970, 1970(3), 105-16.
7. CREMER, Lothar a Helmut A. MÜLLER. Principles and applications of room acoustics. New York, NY, USA: Sole distributor in the USA and Canada, Elsevier Science Pub. Co., c1982. ISBN 08-533-4114-1.
8. COX, Trevor J. a Peter. D'ANTONIO. Acoustic absorbers and diffusers: theory, design and application. 2^nd ed. New York: Taylor, c2009. ISBN 978-0-415-47174-9.
9. ČSN EN ISO 354 (730535) Akustika. Měření zvukové pohltivosti v dozvukové místnosti. Český normalizační institut. Praha, 2003.
10. GARAI, Massimo a Francesco POMPOLI. A simple empirical model of polyester fibre materials for acoustical applications. Applied Acoustics. 2005, 66(12), 1383-1398. ISSN 0003682X. Dostupné z: doi:10.1016/j.apacoust.2005.04.008
11. ALLARD, J.-F a Noureddine ATALLA. Propagation of sound in porous media: modelling sound absorbing materials. 2^nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley, 2009. ISBN 978-0-470-746615.

Poděkování

Příspěvek vznikl za podpory projektu FAST-J-20-6458 „Využití kompozitních desek na bázi cementu a organických vláken v kombinaci s porézními deskami z recyklovaných vláken pro konstrukci prvků prostorové akustiky“ a TH04020263 „Výzkum a vývoj systému konstrukčních kompozitních desek na bázi cementu a organických vláken pro dřevostavby a občanskou výstavbu“.