Dynamika vytápěcích systémů (II)

Modelování tepelné dynamiky budovy s použitím stochastických diferenciálních rovnic (Dánsko [5])

Článek [5] popisuje časově kontinuální modelování tepelné dynamiky budovy. Použití modelů pro tepelnou dynamiku v budově je citlivá a proveditelná metoda ke snížení spotřeby energie a zlepšení tepelné pohody.

Statistický postup, "modelovací metoda šedé skříně" (grey box modelling method) je použita tak, aby se odvodil celkový model pro tepelnou dynamiku budovy s jedinou testovací místností. Navržený model je formulován jako systém stochastických diferenciálních rovnic a metody maximální pravděpodobnosti a je použit pro odhad parametrů v časově kontinuálním modelu založeném na časově diskrétních výkonových datech budovy. Struktura modelu šedé skříně může být určena ze znalosti fyzikální charakteristiky budovy (tradiční postup) a z informací o výkonových datech budovy (technické údaje výkonu).

Pozornost je soustředěna na modelování dynamiky vnitřní teploty vzduchu v obytné budově v závislosti na vstupech jako je např. sluneční záření či teplo z otopných těles. Je uvažována nízkoenergetická budova. Model je formulován v kontinuálním čase přes stochastické diferenciální rovnice (rovnice, které obsahují matice charakterizující dynamické chování systému, matice popisující vstupní signály ovlivňující změny teploty a přídavný hlukový člen). Statistické metody jsou použity k určení, odhadnutí a ohodnocení navrženého modelu. Modelovací postup se může skládat ze tří etap: určení, odhadnutí a ohodnocení. Cyklus pokračuje až do té doby, kdy je nalezena dostačující parametrizace modelu. Struktura modelu se určí podle termodynamických vztahů veličin, které nejvíce ovlivňují zkoumanou dynamiku. Tyto vztahy jsou formulovány ve tvaru obyčejných diferenciálních rovnic využívajících přenos tepla konvekcí (prouděním), vedením a sáláním v jednotlivých zónách.

Práce [5] popisuje časově kontinuální modelování tepelné dynamiky neobydlené budovy viz obr. 5. Každá ze dvou testovacích místností A_s a A_n je rozdělena do dvou tepelných zón tak, aby se popsala jak krátkodobá, tak dlouhodobá změna. Testovací místnost A_s má plochu oken 3,6 m² orientovanou na jih, zatímco testovací místnost A_n má plochu oken 1,9 m² orientovanou na sever. Místnost B má plochu 60 m² a slouží jako řídicí zóna. Všechna okna v řídicí místnosti jsou chráněna proti sluneční radiaci. Kromě toho při modelování přenosů tepla je nutno dát pozor na modelování vstupů tepla z otopných těles a slunečního záření.

Jedná se o nízkoenergetickou stavbu, kterou lze charakterizovat jmenovitou tepelnou ztrátou, která je okolo 2,5 kW při t_e = -12 °C a t_i = 20 °C. Strop a venkovní stěny testovací budovy jsou z lehké stavební konstrukce (stěny jsou izolovány minerální vlnou) a podlahy v místnostech mají těžkou stavební konstrukci. Pro dodávku tepla je použit systém centrálního teplovodního vytápění. Skládá se z vytápěcí jednotky HU umístěné v místnosti B a otopného tělesa (OT) v každé testovací místnosti o stejném výkonu 395 W, který je řízen termostatickou hlavicí. Dalším zdrojem tepla v místnosti A_n je jednotka označená BC.

Obr. 5 - Schéma testovací budovy a jejího interiéru [5]

V modelovacím procesu jsou použita měření z experimentu. Byly měřeny následující proměnné:

Ti (°C)	teplota vzduchu v místnosti,
Tu (°C)	venkovní teplota vzduchu,
I (W/m2)	intenzita slunečního záření,
Ts (°C)	vstupní teplota teplonosné látky do otopného tělesa,
Tr (°C)	výstupní teplota teplonosné látky z otopného tělesa,
q (l/h)	průtok vody otopným tělesem.

Teploty vzduchu byly měřeny v několika bodech v každé ze tří místností. Venkovní teplota a sluneční radiace byly měřeny na jižní a severní straně testovací budovy. Vstupní a výstupní teploty teplonosné látky a průtok otopným tělesem byly měřeny v každé testovací místnosti.

Jak je patrné z obr. 6, v řídicí místnosti B se teplota T_b zvyšuje pomalu. To je ovlivněno tepelnou ztrátou vytápěcí jednotky a prostupem tepla ze sousedních testovacích vytápěných místností. Teploty vzduchu v obou testovacích místnostech dosahují podobných hodnot. V testovací místnosti orientované na jih se teplota vzduchu zvyšuje rychle při intenzivním působení slunečního záření. Při vysoké intenzitě slunečního záření se v této místnosti snižuje zásahem termostatických hlavic průtok otopným tělesem. Na severní straně je měřena pouze difúzní radiace.

Obr. 6a - Naměřené teploty v testovacích místnostech A_s a A_n a kontrolní místnosti B [5]

Obr. 6b - Naměřené venkovní teploty [5]

Následně byl navržen lineární model pro změny teploty vzduchu v testovací místnosti. Při formulaci modelu bylo nutno přihlédnout k následujícím vlivům:

Systém by měl být schopen popsat dynamiku všeho, o co se zajímáme, včetně vlivu slunečního záření na změnu výkonu otopného tělesa. Model by měl být formulován v kontinuálním čase. Uspořádání modelu má být dostupné.

Na každou testovací místnost se pohlíží jako na dvě rozdílné tepelné zóny - vzduch a podlahu. Rovnice pro každou zónu se popisují sdílením tepla vedením, prouděním a sáláním. Uvažuje se, že největší vliv na teplotu vzduchu v místnosti mají tepelné zisky od oslunění, příkon BC-jednotky a otopných těles, prostup tepla stěnami a přestup tepla u podlahy v každé místnosti. Vezme-li se v úvahu aproximace modelu, zanedbá-li se další přenos tepla, lze tepelnou dynamiku a přenos tepla vyjádřit jako soustavu obyčejných diferenciálních rovnic, které vycházejí ze základní bilanční rovnice:

Simulace použitím odhadnutých parametrů (přes pravděpodobnostní metody ML) pro příslušné rovnice dokázala velmi vysokou přesnost modelu. Statistickými testy a fyzikálními testy systému se dokázalo, že model udává velmi dobrý popis tepelné dynamiky uvažované budovy.

Závěr

Program tepelné analýzy TASE, metoda časově kontinuálních modelů, stejně tak jako metoda modelování s použitím stochastických diferenciálních rovnic založená na modelovacím postupu šedé skříně slouží k zjištění a zlepšení dosažení požadované tepelné pohody také vzhledem k množství spotřeby energie pro vytápění. Tyto metody byly ověřeny experimenty, které prokázaly, že výsledky získané simulacemi se velmi dobře shodují s naměřenými hodnotami.

Bylo prokázáno, že dynamika teploty vzduchu v místnosti je ovlivněna mnoha faktory. Největší vliv mají samozřejmě změny klimatických podmínek, ale i schopnost akumulace vytápěného objektu. Ve všech třech případech byly testovány komory, které měly lehkou obvodovou konstrukci.

V práci [3] bylo dokázáno, že naměřené hodnoty se shodovaly s vypočtenými výsledky povrchových teplot, teplot vzduchu v místnosti i tepelných toků. Největší změny těchto veličin byly patrné během intenzivního vytápění, nejpomalejší byly v průběhu snížení přiváděného výkonu, rychlejší změny byly pozorovatelné během chladnutí.

Teplota vzduchu v objektu (práce [4] i [5]) se velmi rychle měnila v závislosti na změnách venkovního klimatu, ale byla ovlivněna i prostupem tepla z obklopujících místností. Bylo zde také patrné působení tepelných zisků od oslunění okny v místnostech vystavených přímé sluneční radiaci. Použité modely využívají toto sdílení tepla, fyzikální charakteristiky a výkonové údaje budovy. S využitím statistických metod a metod maximální pravděpodobnosti mohou modely udávat dostatečně přesně krátkodobé i dlouhodobé změny teploty vzduchu ve vytápěném objektu. To může pomoci k co nejvhodnějšímu návrhu vytápěcího systému vzhledem také k typu použité otopné soustavy a jeho energetické efektivnosti.

Pokračováním zkoumání této problematiky byl experiment provedený v testovací komoře na ČVUT v Praze, Fakultě strojní v areálu laboratoří Ústavu techniky prostředí. Bylo zkoumáno dynamické chování vytápěcího systému s deskovým otopným tělesem umístěným v testovací komoře. Tato místnost není ovlivněna venkovními klimatickými podmínkami a tepelná ztráta je zde nahrazena přívodem venkovního vzduchu. Zdrojem tepla je tepelné čerpadlo země - voda se suchým zemním vrtem, ke kterému může být připnuta bivalentně dvoustupňová elektrická topná patrona. Součástí zařízení s tepelným čerpadlem je vyrovnávací akumulátor o objemu 500 l. Tepelná setrvačnost je zkoumána především z hlediska zdroje tepla. Bylo proměřeno chování celého vytápěcího systému ve vazbě s tepelným čerpadlem, pro dva provozní stavy i různé dynamické změny. Tento reálný systém byl převeden do matematického modelu popsaného obdobně jako v [5] diferenciálními rovnicemi. Řešením těchto rovnic s využitím iterační metody postupného přiblížení se získal popis průběhu hodnoty teplonosné látky v systému při nabíjení a vybíjení akumulátoru, tedy popis stavu systému v jednotlivých časových okamžicích od uvedení systému do provozu nebo po jeho vypnutí. Toto matematické řešení se dobře shoduje s proměřeným chováním skutečného vytápěcího zařízení. Dalším matematickým modelem může být řešení v prostředí simulačního programu TRNSYS.

Použité zdroje:
[1] Nesvadbová, S.: Studie dynamiky systému tepelné čerpadlo-otopná soustava. Diplomová práce. ČVUT, Praha 2003. 100 s.
[2] Stiebel Eltron ČR. Tepelná čerpadla - projektování a instalace. 2001. 88 s.
[3] Kalema, T., Haapala, T.: Effect of interior heat transfer coefficient on thermal dynamics and energy consumption. Energy and building 22 (1995), s. 101 - 113.
[4] Madsen, H., Holst, J.: Estimation of continous-time models for the heat dynamics of a building. Energy and building 22 (1995), s. 67-79.
[5] Andersen, K. K., Madsen, H., Hansen, H. L.: Modelling the heat dynamics of a building using stochastic differential equation. Energy and building 31 (2000), s. 13-24.